01 Июл

Курсовая работа Вариант 53

Курсовая работа

Информатика

на тему:

Нелинейные уравнения, системы уравнений, аппроксимация и интерполяция

53

А.С.

Федосеева Т.А.

Содержание

 

1. Численные методы решения нелинейного уравнения с одной неизвестной   3

2. Численные методы решения системы линейных уравнений   7

3. Численные методы решения задачи аппроксимации   12

 

1. Численные методы решения нелинейного уравнения с одной неизвестной

 

Постановка задачи

.

Требуется:

отделить первый корень уравнения шаговым методом;

;

;

.

 

1.2. Шаговый метод

Шаговый метод отделения корней основан на следующих теоремах:

Теорема 1.

0,то на этом отрезке содержится, по крайней мере, один корень уравнения.

Теорема 2.

0).

-точный корень.

ано нелинейное уравнение:

,

. Отделим первый корень данного уравнения. Для этого построим таблицу в соответствии с алгоритмом метода:

5

.

 

1.3. Метод половинного деления

], содержащий один корень уравнения.

Алгоритм:

.

F(x).

).

<ε.

Построим таблицу в соответствии с алгоритмом:

Стоп

– корень данного уравнения.

 

1.4. Метод Ньютона

Уточним корень уравнения методом Ньютона (касательных).

]:

.

а = 5,8.

Да

 

Для проверки расчетов вычислим значение функции в этой точке:

6,011111) = 0

.

1.5. Метод простой итерации

Уточним корень методом простой итерации.

= 0

) = -0,76; ϕ′(6,1) = -0,41. Условие сходимости не выполнено, поскольку |-5,8| > 1 и |-6,1| > 1.

Тогда

) = 0,329.

Условие сходимости выполнено.

. Составим таблицу, в соответствии с алгоритмом метода:

Да

.

2. Численные методы решения системы линейных уравнений

 

2.1. Постановка задачи

Дана система линейных уравнений:

Требуется решить систему уравнений, используя:

• метод Гаусса (решение в обыкновенных дробях);

• метод простой итерации (3 итерации);

• метод Зейделя (3 итерации).

 

2.2. Метод Гаусса

1. Прямой ход метода Гаусса:

Запишем систему в виде матрицы, включив коэффициенты уравнений и свободные члены:

 

Работаем со столбцом №1

) и добавим к 3-ей:

-1,5

Работаем со столбцом №2

-ой:

-3,5106

):

-1

 

Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:

 

Теперь исходную систему можно записать как:

)

)

= -1

2. Обратный ход метода Гаусса:

 

= -1

= -1

(-1,-1,-1).

 

2.3. Метод простой итерации

Проверим условие сходимости: Для сходимости метода необходимо и достаточно, чтобы в матрице A абсолютные значения всех диагональных элементов были больше суммы модулей всех остальных элементов в соответствующей строке.

Наша система имеет вид:

|-да

|+|3|-да

|-да

Условие сходимости выполняется.

Для организации итерационного процесса запишем систему в приведенном виде:

Получим:

Проведем три итерации:

1 итерация:

= -0,25

= -0,333333333

= -0,125

2 итерация:

= -0,369791667

= -0,4375

= -0,395833333

3 итерация:

-0,552083333

-0,592881944

-0,490885417

).

 

Метод Зейделя

Наша система имеет вид:

Для организации итерационного процесса запишем систему в приведенном виде:

Получим:

Проведем три итерации:

1 итерация:

= -0,25

75

5

2 итерация:

-0,6875

-0,760416667

-0,772135417

3 итерация:

-0,827636719

-0,857340495

-0,867746989

Результат после выполнения трех итераций:

).

 

решения задачи аппроксимации

 

3.1. Постановка задачи

1

Требуется:

• решить задачу интерполяции методом неопределенных коэффициентов (кусочно-линейная для каждой последовательной пары точек 1+2, 2+3, 3+4, 4+5, кусочно-параболическая интерполяция для каждой последовательной тройки точек 1+2+3, 3+4+5)

кусочно-линейная для каждой последовательной пары точек 1+2,2+3,3+4,4+5, кусочно-параболическая интерполяция для каждой последовательной тройки точек 1+2+3, 3+4+5)

• решить задачу аппроксимации полиномом 1-й и 2-й степени методом наименьших квадратов для всех точек 1+2+3+4+5

 

3.2. Решение задачи интерполяции (полиномы первой и второй степени) методом неопределенных коэффициентов

В случае интерполяции функция проходит строго через экспериментальные точки. Для кусочно-линейной интерполяции получим две системы из условия прохождения соответствующей прямой через точки 1+ 2, 2+3, 3+4, 4+5:

Для квадратичной интерполяции с помощью метода неопределенных коэффициентов получим следующие системы.

Для точек 1+2+3:

2

 

 

2

Для точек 3+4+5:

x

1

2

f(x)

2

-2

1

 

 

-13

с использованием полинома Лагранжа

Решим туже задачу с использованием полинома Лагранжа.

Интерполяционный полином в форме Лагранжа имеет вид

или в развернутой форме:

1+2,2+3,3+4,4+5, кусочно-параболическая интерполяция для каждой последовательной тройки точек 1+2+3, 3+4+5

Для кусочно-линейной интерполяции получим:

x

-3

-1

f(x)

0

-3

1

Для квадратичной интерполяции с помощью полинома Лагранжа получим:

Для 1-2-3:

Для 3-4-5:

 

3.4. Решение задачи аппроксимации методом наименьших квадратов

Используем метод наименьших квадратов.

а) для линейной

Составим таблицу вспомогательных величин:

24

уравнения:

 

 

83

б) полином второй степени

Дополним таблицу вспомогательных величин:

0

Z:

 

:

 

:

 

 

9

5

,1535

+ 0,2175x — 1,2239

 

 

2

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *